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数の平方根がたかだか2つと言うことの証明は中学生では無理でしょう。
他の方で、もしも良い（中学生の範囲でできる）証明法をご存知でしたら教えてください。
素直にそこは±がつくと（aの平方根は±√aと）覚えたほうがいいですよ。
±が付いたものが両方とも平方根になることはすでに皆さんが説明されたとおりです。

あ、二乗っていう言葉そのものの意味が分からない
のかな？それなら
「同じ数をかけてその数になるもの」
という意味だよ
例　２×２＝４　（－２）×（－２）＝４
　よって、二乗して４になる数は±２ってこと。

１３×１３＝１６９これは分かるでしょ？
で－１３×－１３も１６９になるから。二乗して１６９になる数を探すわけよ。